单侧参数假设检验的拒绝域

Posted on December 6, 2021
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参数的假设检验中有这样一种情况：

H0:μ≤μ0,H1:μ>μ0;H_0:\mu\leq\mu_0,\quad H_1:\mu>\mu_0;

这种情况下怎么找拒绝域？尼电概率论课本讲的十分不清楚。

1 单侧区间估计

在区间估计部分有单侧置信区间的估计。

比如要估计μ\mu在某个可信度α\alpha下的置信区间下限，也就是：

μ∈[μ0,∞]\mu\in[\mu_0,\infty]

做法是找一个μ\mu的良好估计量，构造统计量：

X=X‾−μσ/n∼N(0,1)X=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)

根据μ\mu的取值是哪一侧的来确定选择P(X>uα)=αP(X>u_\alpha)=\alpha还是 选择P(X>u1−α)=αP(X>u_{1-\alpha})=\alpha 然后把XX带入，解出来μ0\mu_0.

2 单侧的参数假设检验

首先问题 1：

H0:μ≤μ0,H1:μ>μ0;H_0:\mu\leq\mu_0,\quad H_1:\mu>\mu_0;

和问题 2：

H0:μ=μ0,H1:μ>μ0;H_0:\mu=\mu_0,\quad H_1:\mu>\mu_0;

有相同的拒绝域。

可以把问题 1 分为两部分。

μ<μ0H0:μ≤μ0,H1:μ>μ0;\mu<\mu_0 \quad H_0:\mu\leq\mu_0,\quad H_1:\mu>\mu_0;

μ>μ0H0:μ≤μ0,H1:μ>μ0;\mu>\mu_0 \quad H_0:\mu\leq\mu_0,\quad H_1:\mu>\mu_0;

拒绝域是让H1H_1被接受的检验统计量的取值范围，对于第一个部分， 显然没有拒绝域，因此原问题的拒绝域就是第二部分的拒绝域。 （H0H_0和H1H_1仍然是对立的，μ\mu的定义域变为μ≥μ0\mu\geq\mu_0）

我们采用反证法的思想，假设H0H_0成立，然后构造一个小概率事件，基于小概率事件原理，在一次抽样中这个小概率事件不会发生，如果发生了，说明假设不对，H0H_0应该是不成立，如果没有发生，那就没有理由拒绝H0H_0. 这里小概率事件发生的概率就是显著性水平α\alpha.

首先假设H0H_0成立，即μ=μ0\mu=\mu_0.

和区间估计一样，选择一个μ\mu的良好近似来构造小概率事件。选择X‾\bar{X}，构造

X=X‾−μ0σ/n∼N(0,1)X=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)

现在要计算拒绝域，拒绝域就是H1H_1成立的时候XX的取值范围，也就是要让μ0<μ\mu_0<\mu，也就是那个小概率事件发生了。可以知道X∈拒绝域X\in \text{拒绝域}的概率就是选取的小概率事件发生的概率α\alpha，于是可以确定拒绝域了，就是根据μ0<μ\mu_0<\mu，选择P(X>uα)=αP(X>u_\alpha)=\alpha或者P(X>u1−α)=αP(X>u_{1-\alpha})=\alpha

发现这和置信区间的计算十分类似。一般来说也只有待估计的参数（或者参数假设）是μ\mu的时候才会搞不太清改取哪边。因为常用的四个分布（N(0,1),χ2,F,TN(0,1), \chi^2,F,T）中，χ2,F\chi^2,F分布都用来构造和σ2\sigma^2相关的统计量，然而这两个分布取值范围都是 0 到正无穷，σ2\sigma^2也大于 0，只有一侧。而构造和μ\mu有关的统计量的时候往往会用N(0,1)N(0,1)和TT分布。

看到有这样的说法：单侧的假设检验的拒绝域直接让构造的统计量不等号方向与H1H_1中的不等号方向一样。比如(H1:μ>μ0;H_1:\mu>\mu_0; X=X‾−μ0σ/n>uαX=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}>u_\alpha)， 这是因为常用的构造的统计量中μ0\mu_0或者σ2\sigma^2都和构造的统计量大小负相关，看起来刚好是这样。